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高中数学40条秒杀公式

发布者:商丘个性化一对一辅导发布时间:2020-09-29访问量:22

高考改革后,各科目难度陡增,尤其是数学,考察方式增加,考题愈加灵活,摇身一变成了拉分王!今天,为大家带来了一份高中数学秒杀公式及使用方法,同学们快快收藏起来吧!


高中数学40条秒杀公式

1.适用条件:[直线过焦点],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A为直线与焦点所在轴夹角,是锐角。

x为分离比,必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上),用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边为(x+1)/(x-1),其他不变。

2.函数的周期性问题(记忆三个):
(1)若f(x)=-f(x+k),则T=2k;
(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0),则T=2k;
(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),则T=6k。注意点:a.周期函数,

周期必无限b.周期函数未必存在最小周期,如:常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数,如:y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下:
(1)若在R上(下同)满足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,对称轴为x=(a+b)/2
(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)图像关于(a,b)中心对称

4.函数奇偶性:
(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0
(2)对于含参函数,奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项

(3)奇偶性作用不大,一般用于选择填空

5.数列定律:
1.等差数列中:S奇=na中,例如S13=13a7
2.等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差
3.等比数列中,上述2中各项在公比不为负一时成等比,在q=-1时,未必成立

4.等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q

6.数列的终极利器,特征根方程。

首先介绍公式:对于an+1=pan+q,a1已知,那么特征根x=q/(1-p),则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x,这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦,且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)

7.函数详解补充:
(1)复合函数奇偶性:内偶则偶,内奇同外
(2)复合函数单调性:同增异减

(3)重点知识关于三次函数:恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心,求法为二阶导后导数为0,根x即为中心横坐标,纵坐标可以用x带入原函数界定。另外,必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

8.常用数列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2记忆方法

前面减去一个1,后面加一个,再整体加一个2

9.适用于标准方程(焦点在x轴)公式
k椭=-{(b²)xo}/{(a²)yo}k双={(b²)xo}/{(a²)yo}k抛=p/yo

注:(xo,yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10.强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技
已知直线L1:a1x+b1y+c1=0  直线L2:a2x+b2y+c2=0
若它们垂直:(充要条件)a1a2+b1b2=0;
若它们平行:(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两直线重合)

注:以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦,直接必杀!

11.经典中的经典:相信邻项相消大家都知道。
下面看隔项相消:对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注:隔项相加保留四项,即首两项,尾两项。自己把式子写在草稿纸上,那样看起来会很清爽以及整洁!

12.△面积公式
S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

注:这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题!

13.空间立体几何中:
以下命题均错:
1.空间中不同三点确定一个平面
2.垂直同一直线的两直线平行
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直平面
5.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

6.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体都是棱锥注:对初中生不适用。

14.一个小知识点

所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。

答案为:当n为奇数,最小值为(n²-1)/4,在x=(n+1)/2时取到;当n为偶数时,最小值为n²/4,在x=n/2或n/2+1时取到。

16.√〔(a²+b²)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数,是统一定义域)

17.椭圆中焦点三角形面积公式

S=b²tan(A/2)在双曲线中:S=b²/tan(A/2)说明:适用于焦点在x轴,且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

18.定理:空间向量三公式解决所有题目
cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模]|
一:A为线线夹角
二:A为线面夹角(但是公式中cos换成sin)

三:A为面面夹角注:以上角范围均为[0,派/2]

19.公式1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)²

20.切线方程记忆方法
写成对称形式,换一个x,换一个y。

举例说明:对于y²=2px可以写成y×y=px+px再把(xo,yo)带入其中一个得:y×yo=pxo+px

21.定理:(a+b+c)²n的展开式[合并之后]的项数为:Cn+22

22.[转化思想]切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最小为圆心到直线的距离。

23.对于y²=2px,过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。

定理的证明:对于y²=2px,设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔(sinA)²〕,所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)²],所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点,CD过焦点,且AB垂直于CD)

24.关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25.关于解决证明含ln的不等式的一种思路:
举例说明:证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和,右边看成是Sn。

解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),则bn=ln(n+1)-lnn,那么只需证an>bn即可,根据定积分知识画出y=1/x的图。an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。注:仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广,就是把左边、右边看成是数列求和,证面积大小即可。说明:前提是含ln。

26.简洁公式:向量a在向量b上的射影是:
〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。

记忆方法:在哪投影除以哪个的模

27.说明一个易错点:

若f(x+a)[a任意]为奇函数,那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕,同理如果f(x+a)为偶函数,可得f(x+a)=f(-x+a)牢记!

28.离心率公式:
e=sinA/(sinM+sinN)

注:P为椭圆上一点,其中A为角F1PF2,两腰角为M,N

29.椭圆的参数方程也是一个很好的东西,它可以解决一些最值问题。
比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。

解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30.公式:
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
积化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31.定理:直观图的面积是原图的√2/4倍。

32.三角形垂心定理:
1.向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心,H为垂心)

2.若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。

33.维维安尼定理

正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值,这定值等于该三角形的高。

34.思路

如果出现两根之积x1x2=m,两根之和x1+x2=n,我们应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数,再利用△大于等于0,可以得到m、n范围。

35.常用结论:

过(2p,0)的直线交抛物线y²=2px于A、B两点。O为原点,连接AO.BO。必有角AOB=90度

36.公式:
ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。
举例说明:ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)<1(n≥2)

证明如下:令x=1/(n²),根据ln(x+1)≤x有左右累和右边再放缩得:左和<1-1/n<1证毕!

37.函数y=(sinx)/x是偶函数。

在(0,π)上它单调递减,(-π,0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。

38.函数y=(lnx)/x在(0,e)上单调递增,在(e,+无穷)上单调递减。另外y=x²(1/x)与该函数的单调性一致。

39.几个数学易错点:
1.f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件
2.在研究函数奇偶性时,忽略最开始的也是最重要的一步:考虑定义域是否关于原点对称!
3.不等式的运用过程中,千万要考虑"="号是否取到!

4.研究数列问题不考虑分项,就是说有时第一项并不符合通项公式,所以应当极度注意:数列问题一定要考虑是否需要分项!

40.A、B为椭圆x²/a²+y²/b²=1上任意两点:
若OA垂直OB,则有1/∣OA∣²+1/∣OB∣²=1/a²+1/b²